Question

Cho tam giác ABC cân ở A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Trên tia đối của tia FC lấy điểm H sao cho F là trung điểm của CH. Các đường thẳng DE và AH cắt nhau tại I. Chứng minh rằng:

a) BDIA là hình bình hành và BDIH là hình thang cân

b) F là trọng tâm của tam giác HDE

Answer 1

a: Xét tứ giác AHBC có

F là trung điểm chung của AB và HC

nên AHBC là hình bình hành

Suy ra: AH//BC

hay AI//DC

Xét ΔEAI và ΔECD có

góc EAI=góc ECD

EA=EC

góc AEI=góc CED

DO đo: ΔEAI=ΔECD

=>AI=CD
=>AI=BD

=>BDIA là hình bình hành

góc ABD=góc AID

góc ACD=góc AHB

mà góc ABD=góc ACD

nên góc AID=góc AHB

=>góc BHI=góc DIH

=>BDIH là hình thang cân

b:

Gọi M là giao của DE và CF

Xét ΔCFA có

EM//FA
nên CM/CF=CE/CA=1/2=EM/FA

=>EM=1/2AF=1/2BF

Xét ΔBFC có MD//FB

nên MD/FB=1/2

=>MD=1/2BF

=>EM=MD

=>M là trung điểm của DE

Xét ΔHDE có

HM là đường trung tuyến

HF=2/3HM

Do đó: F là trọng tâm