Question

Cho tam giác ABC, các góc B và C nhọn. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) AB.AF=AC.AE

b) tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

c) BH.BE + CH.CF = BC²

Answer 1

a) Xét \(\bigtriangleup\) AFC và \(\bigtriangleup\) AEB có:

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\widehat{AFC}=\widehat{AEB}\) =90^o

\(\Rightarrow\) \(\bigtriangleup\)AFC đồng dạng với \(\bigtriangleup\) AEB(g.g)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}\)

\(\Rightarrow\) \(AB.AF=AE.AC\)

b)\(\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Xét \(\bigtriangleup\) AEF và \(\bigtriangleup\) ABC có:

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)(cmt)

\(\Rightarrow\) \(\bigtriangleup\) AEF đồng dạng với \(\bigtriangleup\) ABC(c.g.c)

c) Từ H vẽ HK\(\perp\)BC

Xét \(\bigtriangleup\) BKH và \(\bigtriangleup\) BEC có:

\(\widehat{HBC}\) chung

\(\widehat{BKH}=\widehat{BEC}\) =90^o

\(\Rightarrow\) \(\bigtriangleup\)BKH đồng dạng với \(\bigtriangleup\)BEC (g.g)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{BK}{BE}=\dfrac{BH}{BC}\)

\(\Rightarrow\) BH.BE=BK.BC(1)

Xét \(\bigtriangleup\) CKH và \(\bigtriangleup\) CFB có:

\(\widehat{BCH}\) chung

\(\widehat{CKH}=\widehat{CFB}\) =90^o

\(\Rightarrow\) \(\bigtriangleup\) CKH đồng dạng với \(\bigtriangleup\) CFB(g.g)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{CH}{BC}\)

\(\Rightarrow\) CH.CF=BC.CK(2)

Cộng (1) với (2) ta được:

BH.BE+CH.CF=BK.BC+CK.BC=BC.(CK+BK)=BC.BC=BC²

\(\Rightarrow\) BH.BE+CH.CF=BC²

Chúc bạn học tốt.