Cho tam giác ABC , các đường cao BD,CE cắt nhau tại H đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K. gọi M là trung điểm của BC
a)C/m tam giác ADB đồng dạng với tam giác AEC
b)C/m HE.HC = HD.HB
c)C/m H,K,M thẳng hàng
d) tam giác ABC có thêm điều kiện gì để tứ giác BHCK là hình thoi ? hình chữ nhật ?
a, Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\) có :
\(\widehat{A}:chung\)
\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^o\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta ADB\sim\Delta AEC\left(g.g\right)\)
b, Xét \(\Delta HEB\) và \(\Delta HDC\) có :
\(\widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90^o\)
\(\widehat{BHE}=\widehat{CHD}\) ( đđ )
\(\Rightarrow\) \(\Delta HEB\sim\Delta HDC\left(g.g\right)\)
c, Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp BK\\AB\perp CE\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) BK // CE hay BK // CH ( 1 )
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AC\perp CK\\AC\perp BD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) CK // BD hay CK // BH ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\) Tứ giác BHCK là hình bình hành
\(\Rightarrow\) BC, HK là 2 đường chéo
Mà M là trung điểm của đường chéo BC
\(\Rightarrow\) M là trung điểm của đường chéo HK
\(\Rightarrow\) 3 điểm M,H,K thẳng hàng
d, BHCK là hình thoi \(\Leftrightarrow\) \(BC\perp HK\) Mà H là trực tâm của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\) AH là đường cao thứ ba
\(\Rightarrow\) \(AH\perp BC\) \(\Rightarrow\) \(HM\perp BC\) \(\Leftrightarrow\) A,H,M thẳng hàng
\(\Leftrightarrow\) \(\Delta ABC\) cân tại A
BHCK là hình chữ nhật \(\Leftrightarrow\) \(BH\perp HC\)
Ta có : \(BE\perp HC,CD\perp HB\) nên \(HB\perp HC\)
\(\Leftrightarrow\) H,D,E trùng nhau. Khi đó H,D,E cũng trùng với A
Vậy tam giác ABC vuông tại A
