Hình tự vẽ.
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A
\(\Rightarrow AB=AC\) và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
hay \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)
Xét \(\Delta EBC\) vuông tại E và \(\Delta DCB\) vuông tại D có:
BC chung
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) (c/m trên)
\(\Rightarrow\Delta EBC=\Delta DCB\) (ch-gn)
\(\Rightarrow EB=DC\) (2 góc t/ư)
Ta có: AE + EB = AB
AD + DC = AC
mà EB = DC; AB = AC
\(\Rightarrow AE=AD\)
Xét \(\Delta AEK\) vuông tại E và \(\Delta ADK\) vuông tại D có:
AK chug
AE =AD (c/m trên)
\(\Rightarrow\Delta AEK=\Delta ADK\left(ch-cgv\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{EAK}=\widehat{DAK}\) (2 góc t/ư)
Do đó AK là tia pg của \(\widehat{A}\).
Vì \(\bigtriangleup ABC\) cân tại A (gt)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (t/c tam giác cân)
Xét \(\bigtriangleup BEC\left(\widehat{BEC}=90^o\right)\) và \(\bigtriangleup CDB\left(\widehat{CDB}=90^o\right)\) có :
BC : cạnh chung
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\left(cmt\right)\)
=> \(\bigtriangleup BEC=\bigtriangleup CDB\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> BE = CD (2 cạnh t/ứng)
Ta có : \(\left\{\begin{matrix}AE+BE=AB\left(E\in AB\right)\\AD+CD=AC\left(D\in AC\right)\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\BE=CD\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(AE=AD\)
Xét \(\bigtriangleup AEK\left(\widehat{AEK}=90^o\right)\) và \(\bigtriangleup ADK\left(\widehat{ADK}=90^o\right)\) có :
AE = AD (cmt)
AK : cạnh chung
=> \(\bigtriangleup AEK=\bigtriangleup ADK\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (2 góc t/ứng)
Mà AK nằm giữa AB và AC
=> AK là tia phân giác của \(\widehat{A}\)
