Lời giải:
Đặt $x^2=t$ thì PT ban đầu trở thành: \(t^2-2mt+4=0(*)\)
\(\Delta'_{(*)}=m^2-4\)
a)
Để PT ban đầu vô nghiệm thì PT $(*)$ vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm
PT $(*)$ vô nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta'_{(*)}=m^2-4< 0\Leftrightarrow -2< m< 2\)
PT $(*)$ có nghiệm âm: \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta'_{(*)}=m^2-4>0\\ t_1+t_2=2m< 0\\ t_1t_2=4>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -2\)
Vậy $m\in (-2;2)$ hoặc $m\in (-\infty; -2)$
b)
Để PT ban đầu có 1 nghiệm thì PT $(*)$ có duy nhất nghiệm $t=0$ hoặc có 1 nghiệm $t=0$ và nghiệm còn lại âm.
Mà $0^2-2.m.0+4=4\neq 0$ với mọi $m$ nên PT $(*)$ không thể có nghiệm $t=0$. Kéo theo không tồn tại $m$ để PT ban đầu có nghiệm duy nhất.
c) Để PT ban đầu có 2 nghiệm thì PT $(*)$ có 1 nghiệm dương, 1 nghiệm âm (2 nghiệm trái dấu)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta'_{(*)}=m^2-4>0\\ t_1t_2=4< 0\end{matrix}\right.\) (vô lý)
Do đó không tồn tại $m$ để PT ban đầu có 2 nghiệm
d)
Để PT ban đầu có 3 nghiệm thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm: $1$ nghiệm dương và một nghiệm $t=0$. Như phần b ta đã chỉ ra $(*)$ không thể có nghiệm $t=0$. Do đó không tồn tại $m$ để PT ban đầu có 3 nghiệm.
e)
Để PT ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì $(*)$ phải có 2 nghiệm dương phân biệt
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta'_{(*)}=m^2-4>0\\ t_1+t_2=2m>0\\ t_1t_2=4>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>2\)
PT ban đầu có 4 nghiệm \(x_1=\sqrt{t_1}; x_2=-\sqrt{t_1}; x_3=\sqrt{t_2}; x_3=-\sqrt{t_2}\)
Để \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=32\)
\(\Leftrightarrow 2t_1^2+2t_2^2=32\Leftrightarrow t_1^2+t_2^2=16\)
\(\Leftrightarrow (t_1+t_2)^2-2t_1t_2=16\Leftrightarrow 4m^2-2.4=16\)
\(\Leftrightarrow m^2=6\Rightarrow m=\sqrt{6}\) (do $m>2$)
Vậy.........
