Question

Cho phương trình \(x^2-\left(2m-1\right)x+m-2=0\)( x là ẩn số, m là tham số)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng lập phương của hai nghiệm đó bằng 27

Answer 1

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(m-2\right)=4m^2-8m+9=4\left(m-1\right)^2+5>0\) \(\forall m\)

Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(x_1^3+x_2^3=27\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=27\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^3-3\left(m-2\right)\left(2m-1\right)-27=0\)

\(\Leftrightarrow8m^3-18m^2+21m-34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(8m^2-2m+17\right)=0\)

\(\Rightarrow m=2\)