Question

Cho parabol P: y=\(x^2\)và đg thẳng (d):y=2x+\(m^2\)+1 (m là tham số)

1) Xđinh tất cả các giá trị m để (d)//(d’):y=\(2m^2x+m^2+m\)

2) CM với mọi m thì (d) luôn giao(P) tại 2 điểm phân biệt A và B

3)kí hiệu x1,x2 là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m để \(x1^2+x2^2=14\)

Answer 1

Lời giải:

1) Để \(d\parallel d'\) thì \(2=2m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2=1\Leftrightarrow m\pm 1\)

Đặc biệt trong TH \(m=1\) thì hai đường thẳng trên trùng nhau (là TH đặc biệt của song song )

2)

PT hoành độ giao điểm:

\(x^2-(2x+m^2+1)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-(m^2+1)=0\)

Ta có: \(\Delta'=1^2+(m^2+1)=m^2+2>0\) với mọi \(m\in\mathbb{R}\).

Do đó PT giao điểm luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$, hay hai đồ thị luôn giao nhau tại hai điểm phân biệt (đpcm)

3)

Với \(x_1,x_2\) là hoành độ hai giao điểm A, B. Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2 ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=-(m^2+1)\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(x_1^2+x_2^2=14\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=14\)

\(\Leftrightarrow 2^2-2[-(m^2+1)]=14\)

\(\Leftrightarrow m^2+1=5\Leftrightarrow m^2=4\Leftrightarrow m=\pm 2\) (đều thỏa mãn)

Vậy \(m=\pm 2\)