Question

Cho M=\(\left(\dfrac{2+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}-\dfrac{2-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}-\dfrac{4x}{x-4}\right):\dfrac{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}}\)(với \(x\ge0;x\ne4\))

a) Rút gọn M?

b) Tính giá trị của M tại x=\(\sqrt{6-2\sqrt{5}}-\sqrt{9-4\sqrt{5}}\)

c) Tìm x để M có giá trị nguyên?

Answer 1

a: \(M=\left(\dfrac{-\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4x}{x-4}\right)\cdot\dfrac{-\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\dfrac{-x-4\sqrt{x}-4+x-4\sqrt{x}+4-4x}{x-4}\cdot\dfrac{-\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\dfrac{-4x-8\sqrt{x}}{x-4}\cdot\dfrac{-\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

b: \(x=\sqrt{5}-1-\left(\sqrt{5}-2\right)=\sqrt{5}-1-\sqrt{5}+2=1\)

Thay x=1 vào M, ta được:

\(M=\dfrac{4}{1+3}=\dfrac{4}{4}=1\)

c: Để M là số nguyên thì \(4\sqrt{x}-12+12⋮\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;12;-12\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;3;9\right\}\)

hay \(x\in\left\{0;9;81\right\}\)