Cho hình thang ABCD vuông có A=D=90 độ. Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại I. Chứng minh
a, tam giác ABD đồng dạng với tam giác DAC. Suy ra AD2=AB. DC
b, Gọi E là hình chiếu vuông góc của B lên cạnh DC và O là trung điểm của BD. Chứng minh điểm A,O,E thẳng hàng
c, Tính tỉ số diện tích hai tam giác AIB và DIC
a) Xét \(\Delta\)IAD và \(\Delta\)DAC có:
\(\widehat{AID}=\widehat{ADC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{A}\) là góc chung
\(\Rightarrow\) \(\Delta\)IAD đồng dạng với \(\Delta\)DAC (g - g)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ADI}=\widehat{ACD}\)
Hay \(\widehat{ADB}=\widehat{ACD}\)
Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)DAC, có:
\(\widehat{BAD}=\widehat{ADC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{ADB}=\widehat{ACD}\) (cmt)
\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ABD đồng dạng với \(\Delta\)DAC (g - g)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{DA}=\dfrac{AD}{DC}\)
\(\Rightarrow\) AD2 = AB.DC
b) Xét tứ giác ABDE có:
\(\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}\left(=90^0\right)\)
\(\Rightarrow\) ABDE là hình chữ nhật (dhnb)
gọi \(AE\cap BD\)={O'}
Vì tứ giác ABDE là hcn
\(\Rightarrow\) O'D = O'B (t/chất) (1)
Mà O là trung điểm BD(gt)
\(\Rightarrow\) OD = OB (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\) O' \(\equiv\) O
\(\Rightarrow\) A,O,E thẳng hàng
