Question

Cho hình thang ABCD (AB//CD) gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Tìm đk của h.thg ABCD để tg MNPQ là hình thoi, hình c.nhật, h.vuông

Answer 1

Xét \(\Delta ABD\): M, Q lần lượt là trung điểm AB, BD

\(\Rightarrow\) MQ là đường trung bình \(\Delta ABD\)

\(\Rightarrow\) \(MQ=\frac{AD}{2}\) (1)

Chứng minh tương tự: \(MN=\frac{BC}{2}\)(2); \(NP=\frac{AD}{2}\)(3); \(QP=\frac{BC}{2}\)(4)

(1) (3) \(\Rightarrow MQ=NP\)(5)

(2) (4) \(\Rightarrow MN=QP\)(6)

(5) (6) \(\Rightarrow\) MNPQ là hình bình hành

Để MNPQ là hình thoi \(\Leftrightarrow\) MNPQ là hình bình hành; MN=MQ

\(\Leftrightarrow\) BC=AD

Vậy hình thang ABCD có hai cạnh bên bằng nhau thì MNPQ là hình thoi.

Answer 2

Xét $\Delta ABD$: M, Q lần lượt là trung điểm AB, BD

$\Rightarrow$ MQ là đường trung bình $\Delta ABD$

$\Rightarrow$ $MQ=\frac{AD}{2}$ (1)

Chứng minh tương tự: $MN=\frac{BC}{2}$(2); $NP=\frac{AD}{2}$(3); $QP=\frac{BC}{2}$(4)

(1) (3) $\Rightarrow MQ=NP$(5)

(2) (4) $\Rightarrow MN=QP$(6)

(5) (6) $\Rightarrow$ MNPQ là hình bình hành

Để MNPQ là hình thoi $\iff$ MNPQ là hình bình hành; MN=MQ

$\iff$ BC=AD

Vậy hình thang ABCD có hai cạnh bên bằng nhau thì MNPQ là hình tho