Cho hình thang ABCD (AB//CD) có các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua O kẻ các đường thẳng song song với AB cẳ canh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F. Gọi I và J thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a)\(\frac{ED}{AD}+\frac{BF}{BC}=1\)
b) OE=OF
c) O, I, J thẳng hàng
mai thi rồi ai giúp với ạ
a) △ACD có EO // DC
⇒ \(\frac{DE}{AD}=\frac{OC}{AC}\) (1)
△ BCA có OF // AB
⇒ \(\frac{BF}{BC}=\frac{OA}{AC}\) (2)
lấy (1) + (2) ta được
\(\frac{ED}{AD}+\frac{BF}{BC}=\frac{OC}{AC}+\frac{OA}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\)
b) ta có AB // CD
⇒\(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\Leftrightarrow\frac{OA}{OC+OA}=\frac{OB}{OD+OB}\Leftrightarrow\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{BD}\) (3)
ta có \(\frac{EO}{CD}=\frac{AO}{AC}\) (hệ quả đl Ta-let)
tương tự \(\frac{ÒF}{CD}=\frac{OB}{BD}\)
từ (3) ⇒ \(\frac{EO}{CD}=\frac{OF}{CD}\Rightarrow OE=OF\)
c) ta có AB // CD ⇒\(\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}\Leftrightarrow\frac{2IB}{2DJ}=\frac{OB}{DO}\Leftrightarrow\frac{IB}{DJ}=\frac{OB}{OD}\) (4)
xét △OIB và △OJD có
(4); \(\widehat{B}=\widehat{D}\) ( so le trong)
⇒ △OIB ~ △OJD (c - g - c)
⇒ \(\widehat{IOB}=\widehat{JOD}\)
⇒ I,O,J thẳng hàng
⇒
