Question

cho hình chữ nhật abcd(ab,cb),o là giao điểm 2 đường chéo.trên tia đối tia cd lấy điểm e sao cho cd=ce.gọi f là hình chiếu của d trên be,i là giao điểm của ab và cf.k là giao điểm của af và bc.a)tứ giác abec và tứ giác bfca là hình gì,b)cm:o,k,i thẳng hàng

Answer 1

ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, AC = BD và OA = OB = OC = OD.

Ta có CB ^ AI (vì ABCD là hình chữ nhật) Þ CB là đường cao của DCAI. (1)

DFBD vuông tại F (vì F là hình chiếu của D lên BE) có FO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BD nên OF =BD Þ OF = AC.

DFAC có FO là đường trung tuyến ứng với cạnh AC mà FO =

AC nên DFAC vuông tại F. Suy ra AF ^ CI hay AF là đường cao của DCAI. (2)

K là giao điểm của AF với CB nên từ (1) và (2) suy ra K là trực tâm của DCAI. Do đó IK ^ AC. (3)

Mặt khác, tứ giác ABEC có AB = CE (cùng bằng CD) và AB // CE (vì AB // CD) nên là hình bình hành Þ BE // AC Þ BF //AC Þ ABFC là hình thang.

Lại có DFDE vuông tại F, FC là trung tuyến ứng với cạnh DE (vì CD = CE) nên

CF = CD Þ CF = AB (vì AB = CD). Suy ra tam giácBAC = tam giác FCA (cạnh huyền – cạnh góc vuông) Þ AF = BC.

Hình thang ABFC có hai ­đường chéo AF và BC bằng nhau nên là hình thang cân. Suy ra góc IAC= góc ICA Þ DIAC cân tại I Þ IO là trung tuyến đồng thời là đường cao. Hay IO vuông góc AC. (4)

Từ (3) và (4) suy ra I, K, O thẳng hàng (đpcm).