Gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm BC, trên tia đối của tia EF lấy N sao cho \(EF=2EN\Rightarrow PN//AM\)
\(\Rightarrow d\left(AM;CP\right)=d\left(AM;\left(PCN\right)\right)\)
Giờ đi tìm giao tuyến của (SAB) và (PCN) là xong
Nối C, N cắt AD tại M, cắt AB kéo dài tại tại Q \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ME=\frac{1}{3}CF=\frac{1}{6}AD\\AQ=AB\end{matrix}\right.\)
Nối MP kéo dài cắt SA tại K, áp dụng định lý Menelaus:
\(\frac{MA}{MD}.\frac{PD}{PS}.\frac{KS}{KA}=1\Rightarrow\frac{KS}{KA}=\frac{1}{2}\Rightarrow SK=SA\)
Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống BC \(\Rightarrow HB=HC\)
\(\Rightarrow SH\) là đường trung bình tam giác ABK \(\Rightarrow SH//KB\)
\(\Rightarrow KB=2SH=a\sqrt{3}\)
Gọi giao điểm của QK và SH là R, áp dụng Talet:
\(\frac{RH}{KB}=\frac{QH}{QB}=\frac{5}{6}\Rightarrow RH=\frac{5a\sqrt{3}}{6}\)
Từ H kẻ \(HS_1\perp CQ\), từ H kẻ \(HO\perp RS_1\Rightarrow HO=d\left(H;\left(PCN\right)\right)\)
\(\Delta QHS_1\sim\Delta QCB\Rightarrow\frac{S_1H}{BC}=\frac{QH}{QC}\Rightarrow S_1H=\frac{a.\frac{5a}{2}}{\sqrt{a^2+\left(3a\right)^2}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}\)
\(\Rightarrow HO=\frac{RH.HS_1}{\sqrt{RH^2+HS_1^2}}=\frac{a\sqrt{10}}{8}\)
Gọi \(M_1\) là giao điểm \(AM\) và SH
\(\Rightarrow d\left(M_1;\left(PCN\right)\right)=d\left(AM;\left(PCN\right)\right)=d\left(AM;CP\right)\)
\(M_1H=\frac{1}{3}SH\) (tính chất trọng tâm) \(\Rightarrow M_1H=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow\frac{M_1H}{RH}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow d\left(M_1;\left(PCN\right)\right)=\frac{1}{5}d\left(H;\left(PCN\right)\right)=\frac{a\sqrt{10}}{40}\)
Làm theo cách 12:
Đặt hệ trục Oxyz vào hình chóp với O trùng trung điểm BC, trục Oz trùng tia OS; trục Ox trùng tia OB, trục Oy trùng tia ON với N là trung điểm CD, lấy \(\frac{a}{2}=1\) đơn vị độ dài
Ta có các tọa độ: \(S\left(0;0;\sqrt{3}\right)\); \(A\left(-1;0;0\right)\); \(B\left(1;0;0\right)\); \(C\left(1;2;0\right)\); \(D\left(-1;2;0\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(2;2;0\right)\)
\(\Rightarrow M\left(\frac{1}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\); \(P\left(-\frac{1}{2};1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(\frac{3}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\overrightarrow{CP}=\left(-\frac{3}{2};-1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{CP}\right]=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{-3\sqrt{3}}{2};\frac{-3}{2}\right)\)
\(\Rightarrow d\left(AM;CP\right)=\frac{\left|\overrightarrow{AC}.\left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{CP}\right]\right|}{\left|\left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{CP}\right]\right|}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{39}}{2}}=\frac{4\sqrt{13}}{13}\)
Do mỗi đơn vị độ dài bằng \(\frac{a}{2}\Rightarrow d\left(AM;CP\right)=\frac{4\sqrt{13}}{13}.\frac{a}{2}=\frac{2a\sqrt{13}}{13}\)
//Kết quả tính theo kiểu 11 sai rồi, hình rối quá ko biết nhầm lẫn ở bước nào luôn :D
