Lời giải:
Vì $ABCD$ là hình vuông nên \(AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{6}a\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $SAC$ vuông tại $A$:
\(SA=\sqrt{SC^2-AC^2}=\sqrt{(3a)^2-6a^2}=\sqrt{3}a\)
Kẻ \(AH\perp SD\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} SA\perp (ABCD)\rightarrow SA\perp CD\\ AD\perp DC\end{matrix}\right.\Rightarrow (SAD)\perp DC\)
Mà \(AH\subset (SAD)\Rightarrow AH\perp DC\). Kết hợp với \(AH\perp SD\) suy ra \(AH\perp (SCD)\)
Do đó:
\(d(A,(SCD))=AH\)
Có: \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{3a^2}\Rightarrow AH=\frac{\sqrt{6}a}{2}\)
Vậy \(d(A,(SCD))=\frac{\sqrt{6}a}{2}\)
Lời giải
từ các tam giác vuông ta có
\(SD=\sqrt{SC^2-CD^2}=\sqrt{9a^2-3a^2}=a\sqrt{6}\)
\(SA=\sqrt{SD^2-AD^2}=\sqrt{6a^2-3a^2}=a\sqrt{3}\)
\(S_{\Delta SAD}=\dfrac{1}{2}SA.AD=\dfrac{1}{2}.a.\sqrt{3}.a\sqrt{3}=\dfrac{3a^2}{2}\)
\(S_{\Delta SDC}=\dfrac{1}{2}SD.CD=\dfrac{1}{2}.a.\sqrt{6}.a.\sqrt{3}=\dfrac{3a^2\sqrt{2}}{2}\)
\(V_{chopC.SAD}=V_{chopA.SDC}=\dfrac{1}{3}S_{\Delta SAD}.CD=\dfrac{1}{3}S_{\Delta SDC}.h_a\)
{ha khoảng cách từ A đến mp(SCD)
\(h_a=\dfrac{S_{\Delta SAD}.CD}{S_{\Delta SDC}}=\dfrac{\dfrac{3a^2}{2}.a\sqrt{3}}{\dfrac{3a^2\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)
