Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB=2a,AD=a\sqrt{3}\).Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy.Biết đường thẳng SD tại với mặt đáy một góc \(45^o\).Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD .

Answer 1

Kẻ Ax//BD nên BD //(SAx) mà \(SA\subset\left(SAx\right)\)

\(\Rightarrow\)\(d\left(BD,SA\right)=d\left(BD,\left(SAx\right)\right)=d\left(B,\left(SAx\right)\right)=2d\left(H,\left(SAx\right)\right)\)

Gọi I,K lần lượt là hình chiếu của H trên Ax và SI

Chứng minh được \(HK\perp\left(SAx\right)\)

Tính được :\(HK=\frac{2a\sqrt{93}}{31}.\Rightarrow d\left(BD,SA\right)=2d\left(H,\left(SAx\right)\right)=2HK=\frac{4a\sqrt{93}}{31}\)

Đặt \(AD=x\left(x>0\right)\Rightarrow AB=3x,AN=2x,NB=x,DN=x\sqrt{5},BD=x\sqrt{10}\)

Xét \(\Delta BDN\) có \(cosBDN=\frac{BD^2+DN^2-NB^2}{2BDDN}=\frac{7\sqrt{2}}{10}\)