a, Vì tứ giác ABCD là hình bình hành
⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) (2 góc đối)
Mà \(\widehat{B_1}+\widehat{ABC}=180^0\) (kề bù)
\(\widehat{D_1}+\widehat{ADC}=180^0\) (kề bù)
⇒ \(\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\)
Vì AM ⊥ BC ⇒ \(\widehat{AMB}=90^0\)
AN ⊥ CD ⇒ \(\widehat{AND}=90^0\)
ΔABM và ΔADN có
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMB}=\widehat{AND}=90^0\\\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔABM ~ ΔADN (g.g)(đpcm)
b,
+) Vì tứ giác ABCD là hình bình hành
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AD = BC}\\\text{AB // CD}\end{matrix}\right.\)
Vì ΔABM ~ ΔADN
⇒ \(\frac{AB}{AD}=\frac{AM}{AN}\)
mà AD = BC
⇒ \(\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{AN}\)
⇒ \(\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{AN}\)
+) Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AN ⊥ CD}\\\text{AB // CD}\end{matrix}\right.\)
⇒ AN ⊥ AB
⇒ \(\widehat{BAN}=90^0\)
Vì \(\widehat{ABC}\) là góc ngoài tại đỉnh B của ΔABM
⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{BAM}+\widehat{AMB}\)
⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{BAM}+90^0\) (\(\widehat{AMB}=90^0\))(1)
Ta có \(\widehat{AMN}=\widehat{BAN}+\widehat{BAM}\)
⇒ \(\widehat{AMN}=\widehat{BAM}+90^0\) (\(\widehat{BAN}=90^0\))(2)
Từ (1), (2) ⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{MAN}\)
+) ΔABC và ΔMAN có
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{AN}\\\widehat{ABC}=\widehat{MAN}\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔABC ~ ΔMAN (c.g.c)
⇒ \(\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{MN}\)
⇒ AB . MN = AC . AM (đpcm)
c, KẺ THÊM:
KẺ DE ⊥ AC TẠI E
KẺ BK ⊥ AC TẠI K
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành
⇒ AD // BC
⇒ \(\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\) (so le trong)
Vì DE ⊥ AC ⇒ \(\widehat{AED}=\widehat{CED}=90^0\)
Vì BK ⊥ AC ⇒ \(\widehat{BKC}=90^0\)
ΔCED và ΔCNA có
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C_2}\text{ chung}\\\widehat{CED}=\widehat{CNA}=90^0\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔCED ~ ΔCNA (g.g)
⇒ \(\frac{CE}{CN}=\frac{CD}{CA}\)
⇒ CN . CD = CE . CA (3)
ΔCBK và ΔCAM có
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C_1}\text{ chung}\\\widehat{CKB}=\widehat{CMA}=90^0\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔCBK ~ ΔCAM (g.g)
⇒ \(\frac{CB}{CA}=\frac{CK}{CM}\)
⇒ CB . CM = CK . AC (4)
Từ (3), (4)
⇒ CB.CM + CN.CD = CE.AC + CK.AC
⇒ CB.CM + CN.CD = AC.(CE + CK) (5)
ΔADE và ΔCBK có
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AED}=\widehat{CKB}=90^0\\\text{AD = BC}\\\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔADE = ΔCBK (ch.gn)(bằng nhau nha. Không phải đồng dạng đâu)
⇒ AE = CK (6)
Từ (5), (6)
⇒ CB.CM + CN.CD = AC.(CE + AE)
⇒ CB.CM + CN.CD = AC.AC
⇒ CB . CM + CN .CD = AC2 (đpcm)
Hình mình để bên dưới nhé! Trình bày có chỗ hơi khó hiểu hoặc khó nhìn nhưng thông cảm nhé! Nhớ đọc kĩ và hết phần bài của mình nha ! 
Chúc bạn học tốt !!!! 
