a) Ta có: \(AP=PB=\frac{AB}{2}\)(P là trung điểm của AB)
\(DQ=CQ=\frac{DC}{2}\)(Q là trung điểm của DC)
mà AB=DC(Hai cạnh đối trong hình chữ nhật ABCD)
nên AP=PB=DQ=CQ
Ta có: \(AB=2\cdot AD\)(\(10=2\cdot5\))
mà AB=2AP(P là trung điểm của AB)
nên AD=AP
mà AD=BC(hai cạnh đối trong hình chữ nhật ABCD)
nên AP=BC
mà AP=BP(P là trung điểm của AB)
nên BP=BC
Xét tứ giác APQD có
AP//QD(AB//CD, P∈AB, Q∈CD)
AP=QD(cmt)
Do đó: APQD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành APQD có \(\widehat{DAP}=90^0\)(Số đo của một góc trong hình chữ nhật ABCD)
nên APQD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Hình chữ nhật APQD có AP=AD(cmt)
nên APQD là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)
Xét tứ giác BCQP có
BP//CQ(AB//CD, P∈AB, Q∈CD)
BP=CQ(cmt)
Do đó: BCQP là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành BCQP có \(\widehat{CBP}=90^0\)(Số đo của một góc trong hình chữ nhật ABCD)
nên BCQP là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Hình chữ nhật BCQP có BP=BC(cmt)
nên BCQP là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)
b) Xét tứ giác APCQ có
AP//QC(AB//CD, P∈AB, Q∈CD)
AP=QC(cmt)
Do đó: APCQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒AQ//PC(Hai cạnh đối trong hình bình hành APCQ)
hay QH//PK
Xét tứ giác BPDQ có
BP//QD(AB//CD, P∈AB, Q∈CD)
BP=QD(cmt)
Do đó: BPDQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒PD//BQ(Hai cạnh đối trong hình bình hành BPDQ)
hay PH//QK
Ta có: APQD là hình vuông(cmt)
nên Hai đường chéo AQ và PD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(Định lí hình vuông)
mà AQ cắt PD tại H
nên AQ⊥PD tại H, AQ=PD, H là trung điểm chung của AQ và PD
hay \(\widehat{PHQ}=90^0\)
Ta có: \(PH=\frac{PD}{2}\)(H là trung điểm của PD)
\(QH=\frac{AQ}{2}\)(H là trung điểm của AQ)
mà AQ=PD(cmt)
nên PH=QH
Xét tứ giác PHQK có
PH//QK(cmt)
PK//QH(cmt)
Do đó: PHQK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành PHQK có \(\widehat{PHQ}=90^0\)(cmt)
nên PHQK là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Hình chữ nhật PHQK có PH=QH(cmt)
nên PHQK là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)
