Question

Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+1}\left(C\right)\). Biết rằng M₁(x₁;y₁) và M₂(x₂;y₂) là 2 điểm trên đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. Tính giá trị P=x₁x₂+y₁y₂

Answer 1

Lời giải:

TCĐ: $x=-1$

TCN: $y=2$

Do đó:

\(d(M_1,\text{TCĐ})=|x_1+1|; d(M_2, \text{TCĐ})=|x_2+1|\)

\(d(M_1,\text{TCN})=|y_1-2|=|\frac{2x_1-1}{x_1+1}-2|=\frac{3}{|x_1+1|}\)

\(d(M_2, \text{TCN})=|y_2-2|=\frac{3}{|x_2+1|}\)

Áp dụng BĐT Cô-si, tổng khoảng cách:

\(h=(|x_1+1|+\frac{3}{|x_1+1|})+(|x_2+1|+\frac{3}{|x_2+1|})\geq 2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)

Vậy $h_{\min}=4\sqrt{3}$ khi \(\left\{\begin{matrix} |x_1+1|^2=3\\ |x_2+1|^2=3\end{matrix}\right.; x_1\neq x_2\Rightarrow (x_1,x_2)=(\sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1)\)

\(\Rightarrow (y_1,y_2)=(2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})\)

Do đó:

$P=x_1x_2+y_1y_2=-1$