Question

cho hàm số y = f(x) = \(2\sin2x\) .

a) lập bảng biến thiên của hàm số y =\(2\sin2x\)  trên đoạn [−π2;π2][−π2;π2]

b) vẽ đồ thị của hàm số y = \(2\sin2x\)    .

  

Answer 1

4687jf$^

Answer 2

a) Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)1. Tập xác định:

Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nên trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\) thì hàm hoàn toàn xác định.

2. Đạo hàm:

Ta cần xét đạo hàm để lập bảng biến thiên:

\(f \left(\right. x \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) \Rightarrow f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 2 \cdot \frac{d}{d x} \left[\right. sin ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) \left]\right. = 2 \cdot 2 cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = 4 cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\)

3. Xét dấu của đạo hàm trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\):\(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 4 cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\)Ta xét dấu của \(cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\) trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)Bảng xét dấu của \(cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\):

Biến đổi đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\) thành:

Khi \(x = - \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2 x = - \pi \Rightarrow cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = cos ⁡ \left(\right. - \pi \left.\right) = - 1\)Khi \(x = 0 \Rightarrow cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = cos ⁡ \left(\right. 0 \left.\right) = 1\)Khi \(x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2 x = \pi \Rightarrow cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = cos ⁡ \left(\right. \pi \left.\right) = - 1\)

➡ \(cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\) dương trên khoảng \(\left(\right. - \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \left.\right)\), âm ở hai bên.

Kết luận về tính đơn điệu của hàm số:Hàm giảm trên \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , - \frac{\pi}{4} \left]\right.\)Hàm tăng trên \(\left[\right. - \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \left]\right.\)Hàm giảm trên \(\left[\right. \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)4. Tính giá trị tại các điểm đặc biệt:\(f \left(\right. - \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. - \pi \left.\right) = 0\)\(f \left(\right. - \frac{\pi}{4} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. - \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 \left(\right. - 1 \left.\right) = - 2\)\(f \left(\right. 0 \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. 0 \left.\right) = 0\)\(f \left(\right. \frac{\pi}{4} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 \left(\right. 1 \left.\right) = 2\)\(f \left(\right. \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. \pi \left.\right) = 0\)b) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2 sin ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\) trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)1. Một số điểm đặc biệt trên đồ thị:\(x = - \frac{\pi}{2} \Rightarrow y = 0\)\(x = - \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = - 2\)\(x = 0 \Rightarrow y = 0\)\(x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = 2\)\(x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow y = 0\)2. Đặc điểm của đồ thị:Dạng sóng hình sin, nhưng bị nén theo trục hoành (vì có hệ số 2 trong sin(2x))Biên độ: 2Chu kỳ: \(T = \frac{2 \pi}{2} = \pi\)Trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\), ta thấy đúng nửa chu kỳ👉 Cách vẽ đồ thị (gợi ý):Vẽ trục tọa độ \(O x y\)Đánh dấu các điểm:\(\left(\right. - \frac{\pi}{2} , 0 \left.\right)\)\(\left(\right. - \frac{\pi}{4} , - 2 \left.\right)\)\(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)\(\left(\right. \frac{\pi}{4} , 2 \left.\right)\)\(\left(\right. \frac{\pi}{2} , 0 \left.\right)\)Nối các điểm bằng đường cong mềm mại (dạng sóng sin)Chú thích các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (2 và -2), các điểm uốn tại \(x = 0\)