a)
Gọi giao của AM và OI là H, giao của O'I và AN là K
Ta có: IO là phân giác \(\widehat{MIA}\) ( tính chất tiếp tuyến)
IO' là phân giác \(\widehat{NIA}\) ( tính chất tiếp tuyến)
Do đó suy ra \(\widehat{OIO'}\) =90o (2 tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau)
Ta có: \(OA=OM=R\)
\(\Rightarrow\) O thuộc đường trung trực của AM (1)
Ta có: \(IA=IM\) ( tính chất tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\) I thuộc đường trung trực của AM (2)
(1)(2)\(\Rightarrow\) OI là trung trực của AM
\(\Rightarrow\)\(\widehat{IHA}\) \(=90^o\)
Chứng minh tương tự: O'I là trung trực của AN
\(\Rightarrow\) \(\widehat{IKA}\) \(=90^o\)
Do đó AHIK là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\) \(\widehat{MAN}\)\(=90^o\)
b)
Giả sử R>R'
Từ O'kẻ đường thẳng song song với MN cắt OM tại D
\(\Rightarrow\) \(OD\)//\(MN\)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{O'DM} \)\(=90^o\)
Mà \(\widehat{OMN}\)=90o, \(\widehat{O'NM}\) =90o
\(\Rightarrow MNO'D\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow MN=O'D,MD=NO'=R',OD=OM-MD=R-R'\)
Vì \(\widehat{O'DM}\) =90
\(\Rightarrow\) \(\Delta ODO'\) là tam giác vuông
\(\Rightarrow DO^2=OO'^2-OD^2\)( định lý pythagor)
\(\Rightarrow DO^2=\left(R+R'\right)^2-\left(R-R'\right)^2=4RR'\)
\(\Rightarrow DO=2\sqrt{RR'}\)
\(\Rightarrow MN=2\sqrt{R.R'}\left(đpcm\right)\)
