Cho hai đường tròn (I; r) và (K; R) tiếp xúc ngoài với nhau tại P với R ≠ r, đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với (I; r) và (K; R) tại A và B, a cắt KI tại O. Đường thẳng qua P vuông góc với IK cắt đường thẳng a tại M. Chứng minh:
a) \(\dfrac{OI}{OK}=\dfrac{r}{R};\) b) \(AB=2MP;\) c) \(\widehat{IMK}=90^o\).
a) Vì đường thẳng a là tiếp tuyến của hai đường tròn $(\mathrm{I})$ và $(\mathrm{K})$ lần lượt tại tiếp điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ nên $\mathrm{IA} \perp$ a tại $A, K B \perp$ a tại $B$. Do đó $I A / / K B$.
Xét $\triangle \mathrm{OBK}$ có $\mathrm{IA} / / \mathrm{KB}$ nên $\frac{O I}{O K}=\frac{I A}{K B}=\frac{r}{R}$ (hệ quả định lí Thalès).
b) Vì MP $\perp \mathrm{IK}$ tại P nên MP là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(\mathrm{I})$ và $(\mathrm{K})$.
Xét đường tròn (I), hai tiếp tuyến $M A, M P$ cắt nhau tại $M$ nên $M A=M P$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Xét đường tròn $(K)$, hai tiếp tuyến $M B, M P$ cắt nhau tại $M$ nên $M B=M P$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó $M A+M B=M P+M P$ hay $A B=2 M P$.
c) Xét đường tròn (I), hai tiếp tuyến $M A, M P$ cắt nhau tại M nên MI là tia phân giác của góc AMP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó $\widehat{I M P}=\frac{1}{2} \widehat{A M P}$.
Xét đường tròn $(\mathrm{K})$, hai tiếp tuyến $\mathrm{MB}, \mathrm{MP}$ cắt nhau tại M nên MK là tia phân giác của góc BMP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó $\widehat{K M P}=\frac{1}{2} \widehat{B M P}$.
Ta có:
$$
\widehat{I M P}+\widehat{K M P}=\frac{1}{2} \widehat{A M P}+\frac{1}{2} \widehat{B M P}=\frac{1}{2}(\widehat{A M P}+\widehat{B M P})=\frac{1}{2} \cdot 180^{\circ}=90^{\circ}
$$
Hay $\widehat{I M K}=90^{\circ}$.
Vậy $\widehat{I M K}=90^{\circ}$.