cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM < MB. gọi M' là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M'A. gọi P là chân đường vuông góc kẻ từ S đến AB
a. chứng minh bốn điểm A,M,S,P cùng nằm trên 1 đường tròn
b. gọi S' là giao điểm của MA và SP. chứng minh \(\Delta PS'M\) cân
c. chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
a)Ta có SP\(\perp\)AB (gt) =>\(\widehat{SPA}\) = 900 ; \(\widehat{AMB}\) = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> \(\widehat{AMS}\) = 900 . Như vậy P và M cùng nhìn AS dưới một góc bằng 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính AS.
Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn.
b) Vì M'đối xứng M qua AB mà M nằm trên đường tròn nên M' còng nằm trên đường tròn => hai cung AM và AM' có số đo bằng nhau
=> \(\widehat{AMM'}=\widehat{AM'M}\) ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1)
Vì M'đối xứng M qua AB nên MM' \(\perp\) AB tại H => MM'// SS' ( cùng vuông góc với AB)
=> \(\widehat{AMM'}=\widehat{AS'S};\widehat{AM'M}=\widehat{ASS'}\) (vì so le trong) (2).
=> Từ (1) và (2) =>\(\widehat{AS'S}=\widehat{ASS'}\)
Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn => \(\widehat{ASP}=\widehat{AMP}\) (nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AP}\) )
=> \(\widehat{AS'P}=\widehat{AMP}\)
Vậy tam giác PMS' cân tại P.
Cho đường tròn tâm (O). Từ điểm S ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến SA và SB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Kẻ cát tuyến SCD không đi qua tâm O (C nằm giữa S và D). Gọi I là trung điểm của CD.a/ Chứng minh các điểm S, A, I, O, B cùng nằm trên một đường tròn.b/ Chứng minh IS là đường phân giác của góc AIB.c/ Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng SO và AB; N là giao điểm của hai đường thẳng SD và AB. Chứng minh MC.ND = NC.MD
