Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Gọi M là điểm thuộc cung AB (M\(\ne\)A, M\(\ne\)B) và I là điểm thuộc đoạn OA (I\(\ne\)A, I\(\ne\)O). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với IM, đường thẳng này cắt Ax, By lần lượt tại C,D. Gọi M là giao điểm của AM với IC, F là giao điểm của BM với ID. Chứng minh rằng:
a, Tứ giác MIEF là tư giác nội tiếp.
b, EF\(\) song song vớiAB.
c,OM là tiếp tuyến chung của đươnmg tròn ngoại tiếp tam giác CEM và DFM.
xét tứ giác BDMI ta có : IMD = 90 (CD \(\perp\) MI)
IBD = 90 (BD là tiếp tuyến)
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác BDMI là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\) DMB = DIB (2 góc nội tiếp cùng chắng cung DB của tứ giác BDMI) (1)
xét tứ giác ACMI ta có : IAC = 90 (AC là tiếp tuyến)
IMC = 90 (CD \(\perp\) MI)
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác ACMI là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\) CMA = CIA (2 góc nội tiếp cung chắng cung AC của tứ giác ACMI) (2)
mà CMA + DMB = 90 (góc AMB là góc nội tiếp chắng nửa (o)) (3)
tứ (1) ; (2) và (3) ta có : CIA + DIB = 90
\(\Rightarrow\) CID = 180 - 90 = 90
xét tứ giác MIEF ta có : AMB = 90 (góc nội tiếp chắng nửa (o))
CID = 90 (chứng minh trên)
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác MIEF là tứ giác nội tiếp (đpcm)
b) ta có : MEF = MIF (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MF của tứ giác MIEF) (1)
mà MIF = MBD (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MD của tứ giác BDMI) (2)
đồng thời MBD = MAB (cùng phụ góc ABM) (3)
từ (1) ; (2) và (3) ta có : MEF = MAB
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow\) EF // AB (đpcm)
