cho dường tròn tâm O bán kính R dường kính AB . Gọi E là trung điểm của bán kính OA vẽ tiaẼ vuông góc với AB . Tia Ẽ cắt dường tròn (O;R)tại K
a) tam giác AKB là tam giác gì?
b)tính EK theo R
c) vẽ đường kính CD vuông góc với AB ( D cùng nửa mạt phẳng bờ AB có chứa điểm k) chứng minh KC là phân giác góc AKN
Lời giải:
a)
Vì $AB$ là đường kính $(O)$ nên \(\widehat{AKB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Do đó \(\widehat{AKB}=90^0\Rightarrow \triangle AKB\) là tam giác vuông tại $K$.
b)
Xét tam giác $AKB$ vuông tại $K$, có đường cao $KE$, áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(KE^2=AE.EB=AE(EO+OB)=\frac{OA}{2}(\frac{OA}{2}+OB)=\frac{R}{2}(\frac{R}{2}+R)=\frac{3}{4}R^2\)
\(\Rightarrow KE=\frac{\sqrt{3}}{2}R\)
c) Sửa đề: $KC$ là phân giác góc \(\widehat{AKB}\)
Vì $CD$ vuông góc với $AB$ và đi qua trung điểm $O$ của $AB$ nên $CD$ là đường trung trực của $AB$
Do đó \(CA=CB\Rightarrow \text{cungCA}=\text{cung CB}\)
\(\Rightarrow \widehat{AKC}=\widehat{BKC}\) (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
\(\Rightarrow KC\) là phân giác góc $\widehat{AKB}$ (đpcm)
