cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. vẽ các tiếp tuyến AM,AN với đường tròn (O) (M,N thuộc (O) ) . qua A vẽ một đường thẳng cắt đường tròn (O)tại hai điểm B,C phân biệt (B nằm giửa A,C ) . gọi H là trung điểm đoạn thẳng BC
a, c/m tứ giác AMHN nội tiếp
b, c/m \(AM^2\)=AB.AC
c, đường thẳng qua B song song với AM cắt đoạn thẳng MN tại E .c/m EH//MC
Gọi I là trung điểm AO
a) Xét (O) có: \(\left\{{}\begin{matrix}HO\perp BC\\HO=R\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BHO}\) \(=90^0\) (theo liên hệ giữa đường kính và dây cung)
hay \(\widehat{AHO}\) \(=90^0\)
Vì AM là tiếp tuyến (O)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMO}\) \(=90^0\)
Vì AN là tiếp tuyến (O)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ANO}\) \(=90^0\)
Xét ΔAMO có:
\(\widehat{AMO}\) \(=90^0\)
MI là trung tuyến ứng AO
\(\Rightarrow AI=IO=MI=\frac{AO}{2}\) (1)
Xét ΔANO có:
\(\widehat{ANO}\) \(=90^0\)
NI là trung tuyến ứng AO
\(\Rightarrow AI=IO=IN=\frac{AO}{2}\) (2)
Xét ΔAHO có:
\(\widehat{AHO}\) \(=90^0\)
HI là trung tuyến ứng AO
\(\Rightarrow AI=IO=HI=\frac{AO}{2}\) (3)
Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow MI=HI=NI=AI=OI\left(=\frac{AO}{2}\right)\)
\(\Rightarrow A,N,O,H,M\in\left(I,\frac{AO}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn (theo dhnb tứ giác nội tiếp)
b) Xét (O) có: \(\widehat{AMB}=\widehat{MCB}\) (cùng chắn \(\stackrel\frown{BM}\) )
Xét ΔABM và ΔAMC vì:
\(\widehat{CAM}:chung\)
\(\widehat{AMB}=\widehat{MCB}\) (cmtrn)
\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta AMC\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{AM}{AC}\Leftrightarrow AB.AC=AM^2\) (đpcm)
c) Vì tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn (cm câu a.)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{MAH}=\widehat{MNH}\) hay \(\widehat{MAB}=\widehat{MNH}\) (4)
Vì AM//BE
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EBH}=\widehat{MAB}\) (5)
Từ (4) và (5) \(\Rightarrow\) \(\widehat{MNH}=\widehat{EBH}(=\widehat{MAB})\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác BEHN nội tiếp đường tròn (theo dhnb tứ giác nội tiếp)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EHB}=\widehat{BNE}\) hay \(\widehat{EHB}=\widehat{BNM}\) (*)
Xét (O) có: \(\widehat{BNM}=\widehat{BCM}\) (cùng chắn \(\stackrel\frown{BM}\)) (**)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow\) \(\widehat{EHB}=\widehat{BCM}(=\widehat{BNM})\)
(mà hai góc ở vị trí đồng vị)
\(\Rightarrow\) EH//MC (đpcm)
.
