Lời giải:
a) Vì $AM,AN$ là tiếp tuyến của (O) nên \(AM\perp OM; AN\perp ON\Rightarrow \angle AMO=\angle ANO=90^0\)
Xét tam giác $AMO$ và $ANO$
\(\left\{\begin{matrix} OM=ON =R\\ \angle AMO=\angle ANO\\ AO-\text{chung}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AMO=\triangle ANO\)
\(\Rightarrow AM=AN\)
Thấy rằng : $AM=AN; OM=ON$ nên $MN$ là đường trung trực của $AO$
Do đó \(AO\perp MN\)
b)
DO $NC$ là đường kính nên \(\angle NMC=90^0\)
\(\Leftrightarrow \angle NMO+\angle OMC=90^0\) (1)
Theo phần a, \(MN\perp AO\Rightarrow \angle NMO+\angle MOA=90^0\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\angle OMC=\angle MOA\). Mà hai góc này là hai góc so le trong nên \(MC\parallel AO\)
c)
Vì tam giác AMO vuông tại M nên áp dụng định lý Pitago:
\(AM=\sqrt{AO^2-MO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\) (cm)
\(\Rightarrow AM=AN=4\) (cm)
Gọi giao điểm của $MN, AO$ là $I$
Theo hệ thức lượng trong tam giác :
\(\frac{1}{MI^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{MO^2}=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{3^2}\)
\(\Rightarrow MI=\frac{12}{5}\) (cm).
Tam giác $AMN$ cân có đường cao $AI$ đồng thời cũng là trung tuyến. Do đó $I$ là trung điểm của $MN$. Vì vậy:
\(MN=2MI=\frac{24}{5}\) (cm)
