Question

Cho đường thẳng \(\Delta:x-y+2=0\) và hai điểm \(O\left(0;0\right);A\left(2;0\right)\)

a) Tìm điểm đối xứng của O qua \(\Delta\)

b) Tìm điểm M trên \(\Delta\) sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất

Answer 1

Answer 2

+​câu a:+ gọi d là đường thẳng qua O vuông góc với \(\Delta\): pt d :x+y+m=0 , O(00) \(\in d\Rightarrow m=0\). vậy pt d :x+y =0

+giao điểm H của d và \(\Delta\) thỏa \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(-1;1\right)\)

+goi O' la diem doi xung voi O qua d \(\Rightarrow\)H là trung điểm OO'

\(\Rightarrow O'\left(-2;2\right)\)

​câu b : goi M (a;b) \(\in\Delta\Rightarrow M\left(a;a+2\right)\)

+ O' doi xung O qua \(\Delta\) nen MO = MO'.

+ OM+MA=O'M+MA\(\ge OA\) ​dấu bằng xảy ra khi O',M,A thang hang \(\Leftrightarrow\overrightarrow{O'M}\)cùng phương với \(\overrightarrow{O'A}\)

+ \(\overrightarrow{O'M}=\left(a+2;a\right);\overrightarrow{O'A}=\left(4;-2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+2}{4}=\dfrac{a}{-2}\Rightarrow a=\dfrac{-2}{3}\Rightarrow M\left(\dfrac{-2}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)