Cho ∆DEF vuông tại D, đường cao DH. Biết EH=9 cm, HF=16 cm
a. Tính DH, DE, DF, góc F
b. Trên tia đối của tia DE lấy điểm I sao cho góc DFI = 30° (Vẽ đúng số đo). Tính DI, IF
c. Vẽ DK là phân giác góc HDK (K thuộc EF) M là hình chiếu của F lên DK. Chứng minh: 1/FM^2 = 1/FD^2 + 1/FK^2
Giúp mình câu c với ạ, lm hoài mà ko ra 😭😭😭😭😭
a: Xét ΔDEF vuông tại D có DH là đường cao
nên \(DH^2=HE\cdot HF\)
=>\(DH^2=9\cdot16=144=12^2\)
=>DH=12(cm)
ΔDHE vuông tại H
=>\(DH^2+HE^2=DE^2\)
=>\(DE^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2\)
=>DE=15(cm)
ΔDHF vuông tại H
=>\(DH^2+HF^2=DF^2\)
=>\(DF^2=12^2+16^2=144+256=400=20^2\)
=>DF=20(cm)
Xét ΔDEF vuông tại D có sin F\(=\frac{DE}{EF}=\frac{15}{25}=\frac35\)
nên \(\hat{F}\) ≃37 độ
b: Xét ΔDFI vuông tại D có tan DFI\(=\frac{DI}{DF}\)
=>\(\frac{DI}{20}=\tan30=\frac{1}{\sqrt3}\)
=>\(DI=\frac{20}{\sqrt3}=\frac{20\sqrt3}{3}\) (cm)
ΔDFI vuông tại D
=>\(DF^2+DI^2=FI^2\)
=>\(FI^2=20^2+\left(\frac{20\sqrt3}{3}\right)^2=400+\frac{400}{3}=\frac{1600}{3}\)
=>\(FI=\sqrt{\frac{1600}{3}}=\frac{40\sqrt3}{3}\) (cm)
c: Sửa đề: DK là phân giác của góc HDF
Xét ΔDHF có DK là phân giác
nên \(\frac{KH}{DH}=\frac{KF}{DF}\)
=>\(\frac{KH}{12}=\frac{FK}{20}\)
=>\(\frac{KH}{3}=\frac{KF}{5}\)
mà KH+KF=HF=16cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{KH}{3}=\frac{KF}{5}=\frac{KH+KF}{3+5}=\frac{16}{8}=2\)
=>\(KF=2\cdot5=10\left(\operatorname{cm}\right);KH=2\cdot3=6\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔKHD vuông tại H
=>\(KH^2+HD^2=KD^2\)
=>\(KD^2=6^2+12^2=36+144=180\)
=>\(KD=6\sqrt5\)
Xét ΔKHD vuông tại H và ΔKMF vuông tại M có
\(\hat{HKD}=\hat{MKF}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔKHD~ΔKMF
=>\(\frac{HD}{MF}=\frac{KD}{KF}\)
=>\(\frac{12}{FM}=\frac{6\sqrt5}{10}\)
=>\(FM=12\cdot\frac{10}{6\sqrt5}=\frac{120}{6\sqrt5}=\frac{20}{\sqrt5}=4\sqrt5\) (cm)
\(\frac{1}{FD^2}+\frac{1}{FK^2}=\frac{1}{20^2}+\frac{1}{10^2}=\frac{1}{400}+\frac{1}{100}=\frac{5}{400}=\frac{1}{80}\)
\(\frac{1}{FM^2}=\frac{1}{\left(4\sqrt5\right)^2}=\frac{1}{80}\)
Do đó: \(\frac{1}{FD^2}+\frac{1}{FK^2}=\frac{1}{FM^2}\)
