Question

Cho dãy số: 1; 7; 7²; 7³; 7⁴; ...; 7²⁰¹⁵

a) CMR: tổng các số hạng trên có chữ số tận cùng là 0

b) Có thể tìm được 2 số hạng của dãy mà hiệu của chúng chia hết cho 2015 được không?

Answer 1

a) Đặt A = 1 + 7 + 7² + 7³ + 7⁴ + ... + 7²⁰¹⁵ (có 2016 số; 2016 chia hết cho 4)

A = (1 + 7 + 7² + 7³) + (7⁴ + 7⁵ + 7⁶ + 7⁷) + ... + (7²⁰¹² + 7²⁰¹³ + 7²⁰¹⁴ + 7²⁰¹⁵)

A = 400 + 7⁴.(1 + 7 + 7² + 7³) + ... + 7²⁰¹².(1 + 7 + 7² + 7³)

A = 400 + 7⁴.400 + ... + 7²⁰¹².400

A = 400.(1 + 7⁴ + ... + 7²⁰¹²)

A = (...0) (đpcm)

b) Dãy số 1; 7; 7²; 7³; 7⁴; ...; 7²⁰¹⁵ gồm có 2016 số hạng

Ta đã biết 1 số tự nhiên khi chia cho 2015 chỉ có thể có 2015 loại số dư là dư 0; 1; 2; 3; ...; 2014. Có 2016 số mà chỉ có 2015 loại số dư nên theo nguyên lí Dirichlet sẽ có ít nhất 2 số cùng dư khi chia cho 2015

Hiệu của 2 số này chia hết cho 2015

Vậy có thể tìm được 2 số hạng của dãy mà hiệu của chúng chia hết cho 2015