Cho dây cung BC cố định trên (O) , điểm A thuộc cung BC lớn sao cho tam giác ABC nhọn. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H và cắt (O) lần lượt tại M và N.Kẻ đường cao AD.
a, tứ giác BCEF nội tiếp và MN//EF
b, chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
c, chứng minh đường thẳng qua A vuông góc với EF luôn đi qua 1 điểm cố định
Cần chứng minh câu c nhưng ghi đầy đủ đề cho mọi người luôn
Ai biết giúp với
a) Xét tứ giác BCEF có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
Suy ra tứ giác BCEF nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{CFE}=\widehat{CBE}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
Ta lại có \(\widehat{CBE}=\widehat{CMN}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
Suy ra \(\widehat{CFE}=\widehat{CNM}\) hay MN//FE
b) Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
Suy ra tứ giác AEHF nội tiếp
Chứng minh tương tự EHDC nội tiếp
Suy ra \(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung FH)\(=\widehat{BAD}=90^0-\widehat{BFC}=\widehat{DCH}=\widehat{HED}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung HD)\(\Rightarrow\widehat{FEH}=\widehat{DEH}\) hay EH là đường phân giác của △DEF
Chứng minh tương tự FH là đường phân giác của △DEF
Suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp △DEF
c) Vẽ đường kính AK
Ta có \(\widehat{EFA}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{EFA}+\widehat{FAK}=\widehat{ACB}+\widehat{BAK}=\frac{sd\stackrel\frown{AB}}{2}+\frac{sd\stackrel\frown{BK}}{2}=\frac{sd\stackrel\frown{AK}}{2}=\frac{180^0}{2}=90^0\Rightarrow\)AK⊥EF hay AO⊥EF
Mà O là 1 điểm cố định
Vậy đường thẳng qua A vuông góc với EF luôn đi qua điểm O cố định
