Lời giải:
Gọi $I$ là giao điểm $BN, AM$. $I$ chính là trọng tâm tam giác $ABC$.
Xét tam giác vuông tại $A$ là $ABN$ có đường cao $AI$. Áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$\frac{1}{AI^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AN^2}$
$=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{AC^2}(*)$ (do $AN=\frac{AC}{2}$
Mà:
$AI=\frac{2}{3}AM$ (tính chất trọng tâm)
$AM=\frac{1}{2}BC$
$\Rightarrow AI=\frac{1}{3}BC$
Thay vào $(*)$: $\frac{9}{BC^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{AC^2}$
Theo định lý Pitago ta có: $BC^2=AB^2+AC^2=a^2+AC^2$
$\Rightarrow \frac{9}{a^2+AC^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{AC^2}$
$\Rightarrow AC^4-4a^2AC^2+4a^4=0$
$\Leftrightarrow (AC^2-2a^2)^2=0$
$\Rightarrow AC^2=2a^2$
$\Rightarrow AC=\sqrt{2}a$
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=\sqrt{3}a$
Vậy........
