Question

Cho ΔABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của B, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK cùng vuông góc với AE (H và K cùng thuộc đường thẳng AE ). Chứng minh rằng:

a) BH=AK   b) ΔMBH=ΔMAK   c) ΔMHK là tam giác vuông cân

Answer 1

a: Ta có: \(\hat{KAC}+\hat{KAB}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{KAB}+\hat{HBA}=90^0\) (ΔHAB vuông tại H)
DO đó; \(\hat{KAC}=\hat{HBA}\)

Xét ΔKAC vuông tại K và ΔHBA vuông tại H có

AC=BA

\(\hat{KAC}=\hat{HBA}\)

Do đó: ΔKAC=ΔHBA

=>BH=AK

b: ΔACB vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là phân giác của góc BAC

=>\(\hat{BAM}=\hat{CAM}=45^0\)

Ta có: \(\hat{MBH}+\hat{HBA}=\hat{MBA}=45^0\)

\(\hat{MAK}+\hat{CAK}=\hat{MAC}=45^0\)

mà \(\hat{HBA}=\hat{CAK}\)

nên \(\hat{MBH}=\hat{MAK}\)

Xét ΔMBH và ΔMAK có

MB=MA

\(\hat{MBH}=\hat{MAK}\)

BH=AK

Do đó: ΔMBH=ΔMAK

c: ΔMBH=ΔMAK

=>MH=MK

Xét ΔEMA vuông tại M và ΔEHB vuông tại H có

\(\hat{MEA}\) chung

Do đó: ΔEMA~ΔEHB

=>\(\frac{EM}{EH}=\frac{EA}{EB}\)

=>\(\frac{EM}{EA}=\frac{EH}{EB}\)

Xét ΔEMH và ΔEAB có

\(\frac{EM}{EA}=\frac{EH}{EB}\)

góc MEH chung

Do đó: ΔEMH~ΔEAB

=>\(\hat{EHM}=\hat{EBA}=45^0\)

Xét ΔMHK có MH=MK và \(\hat{MHK}=45^0\)

nên ΔMHK vuông cân tại M