ta có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=2\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
<=>\(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=2\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
<=>\(2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=a^4+b^4+c^4\)(1)
từ giả thiết: a+b+c=0
=>\(\left(a+b+c\right)^2=0\)
=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
=>\(a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
=>\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\)
=>\(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
=>\(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
do a+b+c=0
=>\(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
=>\(a^4+b^4+c^4=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
=>\(a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)(2)
từ 1 và 2=>đpcm
chúc bạn học tốt ^^
đề thiếu,bạn sửa lại thêm "chứng minh" ik nhé
a+b+c=0=>a=-(b+c)=>\(a^2-b^2-c^2=2bc\)
=> \(a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\right)\)
cộng thêm \(a^4+b^4+c^4\) vào cả hai vế trái và vế phải thì ta sẽ được đpcm nha bạn
