\(\frac{a^5+b^5+c^5}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^5\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(\frac{3a}{a+b+c}\right)^5+\left(\frac{3b}{a+b+c}\right)^5+\left(\frac{3c}{a+b+c}\right)^5\ge3\)
Vậy cần chứng minh (1) đúng với a,b,c>0
Áp dụng BĐT Bernouli ta có:
\(\left(\frac{3a}{a+b+c}\right)^5=\left(1+\frac{b+c-2a}{a+b+c}\right)^5\ge1+\frac{5\left(b+c-2a\right)}{a+b+c}\left(2\right)\)
Tương tự ta đc:
\(\left(\frac{3b}{a+b+c}\right)^5\ge1+\frac{5\left(c+a-2b\right)}{a+b+c}\left(3\right)\)
\(\left(\frac{3c}{a+b+c}\right)^5\ge1+\frac{5\left(a+b-2c\right)}{a+b+c}\left(4\right)\)
Cộng theo vế của (2);(3) và (4) ta có:
\(\left(\frac{3a}{a+b+c}\right)^5+\left(\frac{3b}{a+b+c}\right)^5+\left(\frac{3c}{a+b+c}\right)^5\ge3\)
Đpcm
Trần Việt Linhsoyeon_Tiểubàng giảiNguyễn Huy TúNguyễn Huy ThắngPhương AnVõ Đông Anh TuấnLê Nguyên HạoSilver bulletKẹo dẻoNgô Tấn TríHoàng Lê Bảo Ngọc
