Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngọc Hạnh

cho a,b,c là số thực dương, tìm Max: \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b+2c}}\)

Akai Haruma
26 tháng 1 2018 lúc 11:02

Lời giải:

Đặt biểu thức đã cho là $A$

Ta có:

\(A=\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{a+c+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\)

\(A=\sqrt{\frac{a}{(a+b)+(a+c)}}+\sqrt{\frac{b}{(b+c)+(b+a)}}+\sqrt{\frac{c}{(c+a)+(c+b)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(A\leq\sqrt{\frac{a}{2\sqrt{(a+b)(a+c)}}}+\sqrt{\frac{b}{2\sqrt{(b+c)(b+a)}}}+\sqrt{\frac{c}{2\sqrt{(c+a)(c+b)}}}\)

\(\Leftrightarrow A\leq \sqrt[4]{\frac{a^2}{4(a+b)(a+c)}}+\sqrt[4]{\frac{b^2}{4(b+c)(b+a)}}+\sqrt[4]{\frac{c^2}{4(c+a)(c+b)}}(*)\)

Tiếp tục áp dụng AM-GM:

\(\sqrt[4]{\frac{a^2}{4(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\)

\(\sqrt[4]{\frac{b^2}{4(b+c)(b+a)}}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\)

\(\sqrt[4]{\frac{c^2}{4(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\)

Cộng theo vế kết hợp với $(*)$

\(\Rightarrow A\leq \frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}+6.\frac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow A\leq \frac{1}{4}.6=\frac{3}{2}\)

Vậy \(A_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c\)

tthnew
4 tháng 9 2019 lúc 7:19

\(a=b=c\rightarrow P=\frac{3}{2}\). Ta se c/m do la gtln của P. Thật vậy:

\(\frac{1}{2}P=\sqrt{\frac{1}{4}.\frac{a}{b+c+2a}}+...\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}+\frac{a}{b+c+2a}+\frac{1}{4}+\frac{b}{c+a+2b}+\frac{1}{4}+\frac{c}{a+b+2c}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}+\frac{a}{\left(b+a\right)+\left(c+a\right)}+\frac{b}{\left(c+b\right)+\left(b+a\right)}+\frac{c}{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}\right)\)

\(\le\frac{1}{2}\left[\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)\right]=\frac{3}{4}\)

Do đó \(P\le\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c


Các câu hỏi tương tự
Ngọc Hạnh
Xem chi tiết
Ha Hoang Vu Nhat
Xem chi tiết
cha gong-won
Xem chi tiết
Phan Đại Hoàng
Xem chi tiết
MOHAMET SALAS
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
Mai Anh 2006
Xem chi tiết
Kaito Kid
Xem chi tiết
MOHAMET SALAS
Xem chi tiết