Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Anh Ngọc

Cho a,b,c là 3 số thực dương thõa mãn \(a^2+2b^2\le3c^2\). CMR\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{3}{c}\)

Trần Thanh Phương
22 tháng 3 2020 lúc 19:56

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(a+2b\right)^2\le\left(a^2+2b^2\right)\left(1+2\right)\le3c^2\cdot3=9c^2\)

\(\Leftrightarrow a+2b\le3c\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\Leftrightarrow a=b\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Thành Trương
22 tháng 3 2020 lúc 20:14

Theo đề bài, ta có: \(a^2+2b^2\le3c^2\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{c^2}}} + \dfrac{{2{b^2}}}{{{c^2}}} \le 3\) .

Ta đặt \(\dfrac{a}{c}=x;\dfrac{b}{c}=y\). Suy ra \(x^2+2y^2 \le 3\)

Suy ra \(3 \ge {x^2} + 2{y^2} = {x^2} + {y^2} + {y^2} \ge 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} \Leftrightarrow {x^2}{y^4} \le 1\left( 1 \right)\)

Đặt \(A = \dfrac{c}{a} + \dfrac{{2c}}{b} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} = \dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{1}{{2y}} + \dfrac{1}{{2y}} + \dfrac{1}{{2y}} + \dfrac{1}{{2y}} \ge 6\sqrt[6]{{\dfrac{1}{{2x}}.\dfrac{1}{{2x}}.\dfrac{1}{{2y}}.\dfrac{1}{{2y}}.\dfrac{1}{{2y}}.\dfrac{1}{{2y}}}} \ge \dfrac{6}{2}\sqrt[6]{{\dfrac{1}{{{x^2}{y^4}}}}} = 3\left( 2 \right)\)

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: \(A \ge 3\) hay \(\dfrac{c}{a} + \dfrac{{2c}}{b} \ge 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} \ge \dfrac{3}{c}\left( {dpcm} \right)\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thúy linh
Xem chi tiết
NGUYỄN MINH HUY
Xem chi tiết
NGUYỄN MINH HUY
Xem chi tiết
NGUYỄN MINH HUY
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến Nga
Xem chi tiết
Hà Trần
Xem chi tiết
Thu Hien Tran
Xem chi tiết
Lê Thuy Linh
Xem chi tiết
Han Sara
Xem chi tiết