a)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
mà \(AN=NB=\frac{AB}{2}\)(N là trung điểm của AB)
và \(AM=CM=\frac{AC}{2}\)(M là trung điểm của AC)
nên AN=NB=AM=CM
Xét ΔABM và ΔACN có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAC}\) chung
AM=AN(cmt)
Do đó: ΔABM=ΔACN(c-g-c)
⇒BM=CN(hai cạnh tương ứng)
b) Xét ΔABH và ΔACH có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AH chung
BH=CH(H là trung điểm của BC)
Do đó: ΔABH=ΔACH(c-c-c)
⇒\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)
mà tia AG nằm giữa hai tia AB,AC
nên AG là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
c) Ta có: H là trung điểm của BC(gt)
⇒\(CH=\frac{BC}{2}=\frac{8cm}{2}=4cm\)
Ta có: ΔABH=ΔACH(cmt)
⇒\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AHC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
Áp dụng định lí pytago vào ΔAHC vuông tại H, ta được:
\(AC^2=AH^2+HC^2\)
⇔\(AH^2=AC^2-HC^2=5^2-4^2=9\)
\(\Leftrightarrow AH=\sqrt{9}=3cm\)
Xét ΔABC có
AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)
BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)
CN là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(gt)
AH\(\cap\)BM\(\cap\)CN={G}
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
hay \(GH=\frac{AH}{3}=\frac{3}{3}=1cm\)
Vậy: GH=1cm
d) Ta có: BM=CN(cmt)
mà \(BG=\frac{2}{3}BM\)(G là trọng tâm của ΔABC)
và \(CG=\frac{2}{3}CN\)(G là trọng tâm của ΔABC)
nên BG=CG
⇒BG+AG>CG
hay GB+GC>GA(đpcm)
