§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Diêu

Cho a>0, b>0 và ab=1

Chứng minh \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+\frac{8}{a^2+b^2+6}\ge3\)

Nguyễn Việt Lâm
21 tháng 4 2019 lúc 20:45

\(A=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+\frac{8}{a^2+b^2+6}=\frac{a^3+b^3}{ab}+\frac{8}{a^2+b^2+6}=a^3+b^3+\frac{8}{a^2+b^2+6}\)

\(A=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)+\frac{8}{a^2+b^2+6}\ge2\sqrt{ab}\left(a^2+b^2-1\right)+\frac{8}{a^2+b^2+6}\)

\(A\ge2\left(a^2+b^2-1\right)+\frac{8}{a^2+b^2+6}=2a^2+2b^2-2+\frac{8}{a^2+b^2+6}\)

\(A\ge\frac{a^2+b^2+6}{8}+\frac{8}{a^2+b^2+6}+\frac{15}{8}\left(a^2+b^2\right)-\frac{11}{4}\)

\(A\ge2\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2+6\right).8}{8\left(a^2+b^2+6\right)}}+\frac{15}{8}.2ab-\frac{11}{4}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)


Các câu hỏi tương tự
Ác Quỷ Bóng Đêm
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Thảo Vy
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Lê Huy Hoàng
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Linh Châu
Xem chi tiết