Ôn tập toán 6

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Duy Quân

Cho a , b , c là các số nguyên dương . Chứng tỏ tổng sau ko có giá trị là số tự nhiên .

\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\)

Hoang Hung Quan
13 tháng 3 2017 lúc 11:13

Đặt \(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow A>1\left(1\right)\)

Lại có:

\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế ta lại được:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)

\(\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow A< 2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)\(\left(2\right)\)

\(\Rightarrow1< A< 2\)

Vậy \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) không phải là số nguyên (Đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Trần Duy Quân
Xem chi tiết
Phạm Ngọc Anh
Xem chi tiết
vương thiên nhi
Xem chi tiết
công chúa Serenity
Xem chi tiết
Đỗ Phân Tuấn Phát
Xem chi tiết
Lê Thị Thục Hiền
Xem chi tiết
Phan Thị Ánh Linh
Xem chi tiết
Jenny Phạm
Xem chi tiết
Trần Xuân Tùng
Xem chi tiết