\(L.H.S\left(VT\right)\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)-3\right]^2}{\Sigma\left(2a-1\right)\left(1+bc\right)}=\frac{9}{\Sigma\left(2a-1\right)\left(1+bc\right)}\).
Như vậy ta cần chứng minh:
\(\Sigma\left(2a-1\right)\left(1+bc\right)\le6\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(2a-1\right)\left(1+bc\right)\le\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{9}\)
\(\Leftrightarrow9\Sigma\left(2a-1\right)\left(1+bc\right)\le2\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow2\Sigma a^3+6.\Sigma ab\left(a+b\right)+9\Sigma ab+27-18\Sigma a-42abc\ge0\)
Đặt \(a+b+c=p=3;ab+bc+ca=q>\frac{3}{4};abc=r>\frac{1}{8}\). Cần chứng minh:
\(2\left(p^3-3pq+3r\right)+6\left(pq-3r\right)+9q+27-18p-42r\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2p^3-54r\right)+9q-18p+27\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(p^3-27r\right)+9\left(q-\frac{p^2}{3}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left[\left(a+b+c\right)^3-27abc\right]-3\left(\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\right)\ge0\)
Bây giờ thì dùng sos nào:
Chú ý các đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)^3-27abc=\Sigma\frac{a+b+7c}{2}\left(a-b\right)^2\)
\(\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)=\Sigma\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\)
Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
\(\Sigma\left(a+b+7c\right)\left(a-b\right)^2-\Sigma\frac{3}{2}\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(a-b\right)^2\left(a+b+7c-\frac{3}{2}\right)\ge0\)
Và BĐT này là đúng bởi vì: \(a+b+7c-\frac{3}{2}=6c+\frac{3}{2}>0\) rồi tương tự các cái kia:v
Ta có đpcm.
P/s: Em có tính nhầm chỗ nào ko nhỉ:)) nếu ko thì em rất hóng có gp:D
