Question

Cho 3 số nguyên dương a,b,c .Gọi x là tích của 3 số a,b,c.Hỏi trong cách viết số x thành lũy thừa bậc n của một số nguyên thì n lớn nhất là bao nhiêu.

Ai biết giúp mình đi.Cảm ơn

Answer 1

Đặt \(\left(\sqrt[3]{a};\sqrt[3]{b};\sqrt[3]{c}\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)

Áp dụng BĐT \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) ta được:

\(P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)

\(P\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+1}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+1}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+1}\)

\(P\le\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{xyz}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)

\(P\le\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)