1/ Ta có hình vẽ:
a/ Ta có: BE và CF là các đường cao của tam giác ABC.
Mà BE cắt CF tại H
=> H là trực tâm của tam giác
H thuộc AI
=> AI cũng là đường cao của tam giác ABC.
Vì tam giác ABC cân tại A
=> AI cũng là trung tuyến của tam giác
=> I là trung điểm của BC.
b/ Xét hai tam giác vuông ABE và ACF có:
A: góc chung
AB = AC (t/g ABC cân)
=> tam giác ABE = tam giác ACF
=> AE = AF.
Ta có: AB = AC (GT)
==> AB - AF = AC - AE
hay BF = CE
Xét tam giác BFI và tam giác CEI có:
góc B = góc C (t/g ABC cân)
BI = IC (I là trung điểm BC)
BF = CE (cmt)
=> tam giác BFI = tam giác CEI
=> IF = IE
Vậy tam giác IEF cân tại I
Bài 1:
Ta có BE, CF là đường cao TG ABC
=> AI là đường cao thứ 3 của TG ABC
Mà TG ABC cân AI cũng là đường phân giác
=> BAI = CAI
Xét TG ABI và TG ACI
AIB= AIC = 90 độ
AB = AC( TG ABC cân tại A)
BAI= CAI( cmt)
=> TG ABI= TG ACI
=> BI= IC
=> I là trung điểm BC
2/ a/ Xét hai tam giác vuông ABK và ACF có:
AB = AC (t/g ABC cân)
A: góc chung
=> tam giác ABK = tam giác ACF.
b/ Ta có: BK và CF là đường cao của tam giác
Mà BK cắt CF tại H
=> H là trực tâm của tam giác
=> AH là đường cao còn lại của tam giác
hay AI là đường cao của tam giác
Vì tam giác ABC là tam giác cân
nên AI cũng là đường trung trực của tam giác
---> đpcm.
