Câu hỏi của Trần Bạch Vân

Question

Bài 1: Chứng minh rằng phương trình:

a, cos2x=2sinx-2=0 có ít nhất 2 nghiệm.

b, $x^3+3x^2-1=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

c, $m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^4-3=0$  luôn có ít nhất 2 nghiệ...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

a/ Đề không rõ ràng bạn

Từ câu b trở đi, dễ dàng nhận ra tất cả các hàm số đều liên tục trên R

b/ Xét $f\left(x\right)=x^3+3x^2-1$

Ta có: $f\left(-3\right)=-1$ ; $f\left(-2\right)=3$

$\Rightarrow f\left(-3\right).f\left(-2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm trên $\left(-3;-2\right)$

$f\left(0\right)=-1\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm trên $\left(-2;0\right)$

$f\left(1\right)=3\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm trên $\left(0;1\right)$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có 3 nghiệm phân biệtCâu trả lời: a/ Đề không rõ ràng bạn

Từ câu b trở đi, dễ dàng nhận ra tất cả các hàm số đều liên tục trên R

b/ Xét $f\left(x\right)=x^3+3x^2-1$

Ta có: $f\left(-3\right)=-1$ ; $f\left(-2\right)=3$

$\Rightarrow f\left(-3\right).f\left(-2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm trên $\left(-3;-2\right)$

$f\left(0\right)=-1\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm trên $\left(-2;0\right)$

$f\left(1\right)=3\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm trên $\left(0;1\right)$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có 3 nghiệm phân biệt

Nguyễn Việt Lâm · Answer

c/$f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(m^2-4\right)+x^4-3$

$f\left(-2\right)=13$ ; $f\left(1\right)=-2$

$\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm trên $\left(-2;1\right)$

$f\left(2\right)=13\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm trên $\left(1;2\right)$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 2 nghiệm

d/ $f\left(x\right)=5sin3x+x-10$

$f\left(0\right)=-10$

$f\left(4\pi\right)=4\pi-10$

$\Rightarrow f\left(0\right).f\left(4\pi\right)=-10\left(4\pi-10\right)< 0$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(0;4\pi\right)$ hay $f\left(x\right)$ luôn có nghiệmCâu trả lời: c/$f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(m^2-4\right)+x^4-3$

$f\left(-2\right)=13$ ; $f\left(1\right)=-2$

$\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm trên $\left(-2;1\right)$

$f\left(2\right)=13\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm trên $\left(1;2\right)$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 2 nghiệm

d/ $f\left(x\right)=5sin3x+x-10$

$f\left(0\right)=-10$

$f\left(4\pi\right)=4\pi-10$

$\Rightarrow f\left(0\right).f\left(4\pi\right)=-10\left(4\pi-10\right)< 0$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(0;4\pi\right)$ hay $f\left(x\right)$ luôn có nghiệm

Nguyễn Việt Lâm · Answer

e/ $f\left(x\right)=2x^3-mx^2-3mx+4m+3$

$f\left(x\right)=2x^3-\left(x^2+3x-4\right)m+3$

$f\left(1\right)=5$ ; $f\left(-4\right)=-125$

$\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-4\right)< 0$ $\forall m$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-4;1\right)$ hay pt luôn có nghiệm với mọi m

f/ $f\left(x\right)=x^5-5x+1$

$f\left(-2\right)=-21;$ $f\left(-1\right)=5\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(-1\right)< 0$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-2;-1\right)$

$f\left(1\right)=-3\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-1;1\right)$

$f\left(2\right)=23\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(1;2\right)$

Vậy $f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 3 nghiệm pb thuộc $\left(-2;2\right)$Câu trả lời: e/ $f\left(x\right)=2x^3-mx^2-3mx+4m+3$