Bài 1:
Cho các số \(0\le x,y,z\le2\)và x + y + z = 3. Tìm GTNN P = \(x^3+y^3+z^3-3\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\)
Bài 2:
Cho x, y, z là các số thực dương, nhỏ hơn 1 thỏa mãn xyz = (1- x)(1- y)(1- z). Chứng minh trong ba số x(1- y), y(1- z) và z(1- x) có ít nhất một số không nhỏ hơn\(\frac{1}{4}\)
Ai nhanh và đúng, mình sẽ đánh dấu và thêm bạn bè nhé. Thanks. Làm ơn giúp mình !!! PLEASE !!!
\(P=x^3+y^3+z^3-3\left(xyz-xy-yz-zx+2\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3-3xyz+3\left(xy+yz+zx\right)-6\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3\left(xy+yz+zx\right)-6\)
\(=3\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xy+yz+zx\right)-6\)
\(=3\left(x^2+y^2+z^2\right)-6\)
Do \(0\le x;y;z\le2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x-2\right)\le0\\y\left(y-2\right)\le0\\z\left(z-2\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le2x\\y^2\le2y\\z^2\le2z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le2\left(x+y+z\right)=6\)
\(\Rightarrow P\le3.6-6=12\)
\(P_{max}=12\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;2\right)\) và hoán vị
\(P=3\left(x^2+y^2+z^2\right)-6\ge\left(x+y+z\right)^2-6=3\)
\(P_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)
Bài 2:
Ta có:
\(xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\frac{1}{27}\left(3-x-y-z\right)^3\)
\(\Rightarrow3-x-y-z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow3\ge x+y+z+3\sqrt[3]{xyz}\ge3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\frac{1}{2}\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\) (1)
Cùng từ giả thiết:
\(xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\Rightarrow2xyz+x\left(1-y\right)+y\left(1-z\right)+z\left(1-x\right)=1\)
Giả sử cả 3 số đều nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow x\left(1-y\right)+y\left(1-z\right)+z\left(1-z\right)< \frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow1=2xyz+x\left(1-y\right)+y\left(1-z\right)+z\left(1-x\right)< 2xyz+\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow2xyz>\frac{1}{4}\Rightarrow xyz>\frac{1}{8}\) trái với (1)
Vậy điều giả sử là sai hay trong 3 số có ít nhất 1 số không nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\)
