b. Chỉ mở một vòi nước A chảy vào bể chưa có nước sau 60 phút thì đầy. Sau đó, chỉ mở một vòi nước B lấy nước ra dùng, sau 90 phút thì bể cạn hết nước. Tiếp theo, người ta mở đồng thời cả vòi A và vòi B, sau 45 phút thì trong bể có 1000 lít nước. Tính dung tích của bể.
Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2015 là số nguyên tố hay hợp số.
\(.1.\)
Gọi dung tích bể là x
Năng suất vòi 1 là x ( lít / h )
Năng suất vòi 2 là \(\frac{x}{1,5}=\frac{2x}{3}\) ( lít / h )
Sau 45 phút ( tức \(\frac{3}{4}\) h ) vòi 1 chảy được \(x.\frac{3}{4}=\frac{3x}{4}\) ( lít nước )
Vòi 2 chảy được : \(\frac{2x}{3}.\frac{3}{4}=\frac{x}{2}\) ( lít nước )
Khi cả hai vòi chảy cùng lúc trong \(\frac{3}{4}\) h thì lượng nước còn lại trong bể bằng lượng nước vòi 1 chảy vào trừ đi lượng nước vòi 2 chảy ra .
Ta có phương trình ( nói đơn giản là biểu thức ) :
\(\frac{3x}{4}-\frac{x}{2}=1000\) ( lít )
\(\Leftrightarrow\frac{x}{4}=1000\)
\(\Leftrightarrow x=4000\)
Vậy dung tích của bể là 4000 lít hay 4m khối
\(.1.\)
Trong 1 phút vòi A chảy vào được \(\frac{1}{60}\) ( bể )
Trong 1 phút vòi B chảy vào được \(\frac{1}{90}\) ( bể )
Nếu mở cả hai vòi thì sau một phút trong bể có : \(\frac{1}{60}-\frac{1}{90}=\frac{1}{180}\) ( bể )
Sau 45 phút trong bể có \(45.\frac{1}{180}=\frac{1}{4}\) ( bể ) \(=1000\) ( lít )
Vậy dung tích của bể là : \(1000.4=4000\) ( lít )
2) Vì \(n>3\Rightarrow n⋮3\Rightarrow̸\left[\begin{matrix}n\equiv1\left(mod3\right)\\n\equiv2\left(mod\right)3\end{matrix}\right.\Rightarrow n^2\equiv1\left(mod\right)3\)(1)
Lại có:\(2015\equiv2\left(mod3\right)\left(2\right)\)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow n^2+2015\equiv3\left(mod3\right)\Rightarrow n^2+2015\equiv0\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow n^2+2015\) \(⋮3\)
Vậy \(n^2+2015\) là hợp số
\(.2.\)
\(n\) là số nguyên tố , \(n>3\) nên \(n\) không chia hết cho 3
\(\Rightarrow n=3k+1\) hoặc \(n=3k+2\) với \(k\) là số tự nhiên
\(\Rightarrow n^2=\left(3k+1\right)\left(3k+1\right)=3k\left(3k+1\right)+1\left(3k+1\right)=9k^2+3k+3k+1\)
hoặc \(n^2=\left(3k+2\right)^2=\left(3k+2\right)\left(3k+2\right)=3k\left(3k+2\right)2\left(3k+2\right)\)
\(=9k^2+6k+6k+4\) \(=9k^2+6k+6k+3+1\)
\(\Rightarrow n^2\) chia hết cho 3 dư 1
\(n^2=3t+1\) với t là số tự nhiên
\(\Rightarrow n^2+2015=3t+1+2015=3t+2016=3\left(t+672\right)⋮3\)
Vậy : \(n^2+2015\) là hợp số
