Câu hỏi của Lê Anh Tú

Question

a) Tìm n để n^2+2006 là một số chính phương

b) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3 .Hỏi n^2+2006 là một số nguyên tố hay là hợp số

Siêu sao bóng đá · Accepted Answer

a) Đặt n2 + 2006 = a2 ( a $\in$ Z )

$\Rightarrow$ 2006 = a2 - n2 = ( a - n )( a + n )

Mà ( a - n )( a + n ) = 2n chia hết cho 2

$\Rightarrow$ a - n và a + n cùng chẵn lẻ

TH1:

a + n và a - n cùng lẻ $\Rightarrow$ ( a - n )( a + n ) cùng lẻ ( loại )

TH2:

a + n và a - n cùng chẵn $\Rightarrow$ ( a - n )( a + n ) chia hết cho 4 ( loại )

Vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn n2 + 2006 là một số chính phương

b) Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n không chia hết cho 3

Ta có:

n = 3k + 1 hoặc 3k + 2 ( k $\in$ N* )

TH1:

n = 3k + 1

$\Rightarrow$ ( 3k + 1 )2 + 2006 = 9k2 + 6k + 2007 chia hết cho 3 và lớn hơn 3

$\Rightarrow$ n2 + 2006 là hợp số ( 1 )

TH2:

n = 3k + 2

$\Rightarrow$ ( 3k + 2 )2 + 2006 = 9k2 + 12k + 2010 chia hết cho 3 và lớn hơn 3

$\Rightarrow$ n2 + 2006 là hợp số ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) $\Rightarrow$ n2 + 2006 là hợp số

Vậy n2 + 2006 là hợp sốCâu trả lời: a) Đặt n2 + 2006 = a2 ( a $\in$ Z )

$\Rightarrow$ 2006 = a2 - n2 = ( a - n )( a + n )

Mà ( a - n )( a + n ) = 2n chia hết cho 2

$\Rightarrow$ a - n và a + n cùng chẵn lẻ

TH1:

a + n và a - n cùng lẻ $\Rightarrow$ ( a - n )( a + n ) cùng lẻ ( loại )

TH2:

a + n và a - n cùng chẵn $\Rightarrow$ ( a - n )( a + n ) chia hết cho 4 ( loại )

Vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn n2 + 2006 là một số chính phương

b) Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n không chia hết cho 3

Ta có:

n = 3k + 1 hoặc 3k + 2 ( k $\in$ N* )

TH1:

n = 3k + 1

$\Rightarrow$ ( 3k + 1 )2 + 2006 = 9k2 + 6k + 2007 chia hết cho 3 và lớn hơn 3

$\Rightarrow$ n2 + 2006 là hợp số ( 1 )

TH2:

n = 3k + 2

$\Rightarrow$ ( 3k + 2 )2 + 2006 = 9k2 + 12k + 2010 chia hết cho 3 và lớn hơn 3

$\Rightarrow$ n2 + 2006 là hợp số ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) $\Rightarrow$ n2 + 2006 là hợp số

Vậy n2 + 2006 là hợp số

Violympic toán 6