Question

2) Cho hình vuông ABCD , E là điểm trên cạnh DC ; F là điểm trên tia đối của BC sao cho : BF = DE
a) CM : Tam giác AEF vuông cân
b) Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh I ; B ; D thẳng hàng
c) Lấy K đối xứng với A qua I . Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông.

Answer 1

a)Xét tam giác ADF và tam giác ABE có

góc ADF=gócABE(=90)

AD=AB(gt)

DF=BE(gt)

=>tam giác ADF=tam giác ABE(ch-cgv)

=>AF=AE(hai cạnh tương ứng)(1)

=>góc DAF=góc BAE(hai góc tương ứng)

Mà góc DAF+góc FAB=90

=>góc BAE+gócFAB=90 hay góc FAE=90(2)

Từ(1) và (2)=>tam giác AEF vuông cân

b)Ta có BA=BC(gt)

=>B thuộc đường trung trực của AC(3)

Ta lại có DA=DC(gt)

=>D thuộc đường trung trực của AC(4)

Mặt khác tam giác FAE có góc FAE=90(cmt)

Mà AI là đường trung tuyến của tam giác FAE

=>AI=1/2EF(5)

Tam giác ECF có góc ECF=90(gt)

Mà CI là đường trung tuyến của tam giác ECF

=>CI=1/2EF(6)

Từ (5) và (6)=>AI=CI

=>I thuộc đường trung trực của AC(7)

Từ (3),(4) và (7)=>I,B,D thẳng hàng

c)Xét tứ giác AEKF có IA=IK(gt),IE=IF(gt)

=>AEKF là hình bình hành

Mà góc FAE=90(cmt)

=>AEKF là hình chữ nhật

Mà AE=AF(cmt)

=>AEKF là hình vuông