1.Cho tam giác DEF và tam giác MNP có góc E = góc N =90 độ, DF=MP. Hãy bổ sung thêm một điều kiện để hai tam giác vuông bằng nhau.
2. Cho tam giác ABC cần tại C. Các đường trung trực của CA và CB cần tại I. Chứng minh CI là tia phân giác của góc C.
3.Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường thẳng vuông góc với AB, AC lần tại BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng :
a, AM là tia phần giác của góc A
b, AM vuông góc với BC.
4. Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Từ điểm K trên cạnh AC, vẽ KH vuông góc BC, biết KH=KA. Chứng minh rằng BK vuông góc với AH
5.Cho tam giác ABC cần tại A. Gọi M, N là trung điểm của các cạnh AB, AC. Các đường thẳng vuông góc với AB, AC tại M, N cắt nhau tại O. AO cắt BC tại H. Chứng minh rằng HB=HC và AH vuông góc với BC
Bài 1:
Cách 1: thêm điều kiện DE=MN(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Cách 2: thêm điều kiện EF=NP(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Cách 3: thêm điều kiện \(\widehat{F}=\widehat{P}\)(cạnh huyền-góc nhọn)
Cách 4: thêm điều kiện \(\widehat{D}=\widehat{M}\)(cạnh huyền-góc nhọn)
Bài 2:
Gọi O là trung điểm của AC
⇒IO là đường trung trực của AC
Gọi D là trung điểm của BC
⇒ID là đường trung trực của BC
Ta có: CA=CB(ΔCAB cân tại C)
mà \(AO=OC=\frac{AC}{2}\)(O là trung điểm của AC)
và \(CD=BD=\frac{CB}{2}\)(D là trung điểm của BC)
nên AO=OC=CD=BD
Xét ΔOCI vuông tại O và ΔCDI vuông tại D có
CI là cạnh chung
OC=CD(cmt)
Do đó: ΔOCI=ΔCDI(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{OCI}=\widehat{DCI}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{ACI}=\widehat{BCI}\)
mà tia CI nằm giữa hai tia CA,CB
nên CI là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)(đpcm)
Bài 3
a) Xét ΔABM vuông tại B và ΔACM vuông tại C có
AM là cạnh chung
AB=AC(ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔABM=ΔACM(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)(hai góc tương ứng)
mà tia AM nằm giữa hai tia AB,AC
nên AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
b)
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{MBC}=\widehat{ABM}=90^0\)(tia BC nằm giữa hai tia BA,BM)
\(\widehat{ACB}+\widehat{MCB}=\widehat{ACM}=90^0\)(tia CB nằm giữa hai tia CA,CM)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)
Xét ΔMBC có \(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)(cmt)
nên ΔMBC cân tại M(định lí đảo của tam giác cân)
⇒MB=MC
⇒M nằm trên đường trung trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
⇒A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của BC
hay AM⊥BC(đpcm)
Bài 5:
+ Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\left(gt\right)\)
=> \(AM=\frac{1}{2}AB\) (tính chất trung điểm) (1).
+ Vì \(N\) là trung điểm của \(AC\left(gt\right)\)
=> \(AN=\frac{1}{2}AC\) (tính chất trung điểm) (2).
+ Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(AB=AC\) (tính chất tam giác cân) (3).
Từ (1), (2) và (3) => \(AM=AN.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(AMO\) và \(ANO\) có:
\(\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^0\left(gt\right)\)
\(AM=AN\left(cmt\right)\)
Cạnh AO chung
=> \(\Delta AMO=\Delta ANO\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
=> \(\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\) (2 góc tương ứng).
Hay \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}.\)
=> \(AH\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}.\)
+ Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
Có \(AH\) là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\left(cmt\right).\)
=> \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến, đường cao của \(\Delta ABC.\)
=> \(AH\) là đường trung tuyến, đường cao của \(\Delta ABC.\)
=> H là trung điểm của \(BC\) và \(AH\perp BC.\)
=> \(HB=HC\) (tính chất trung điểm) và \(AH\perp BC\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
