Cách 1: Với hình vẽ đã được mô tả như trên, và với đặc tính của hình thang cân là: 2 cạnh đáy song song với nhau (AB//CD, AB<CD), 2 cạnh bên bằng nhau (AD=BC), và 2 cặp góc ở đáy bằng nhau (D=C, A=B). Bi giờ ta xét 2 tam giác vuông: ADE và BCF, vuông ở E và F (do AE và BF là 2 đường cao hạ xuống đáy CD): góc D = góc C, AD=BC - đặc tính của hình thang cân, đã nói ở trên kia. Thêm nữa là góc DAE= góc CBF (đặc tính của hình tam giác vuông là vậy). Như vậy 2 tam giác vuông ADE và BCF bằng nhau (theo trường hợp góc-cạnh-góc) --> DE=CF (là 2 cạnh góc vuông tương ứng) - đ.f.c.m
Cách 2:
Vì AE và BF là 2 đường cao cùng hạ xuống cạnh đáy DC của hình thang cân nên hình ABFE là hình chữ nhật (chứng minh: AB//CD mà FE nằm trên CD nên --> AB//FE, và AE//BF (vì AE và BF cùng vuông góc với DC, và EF thuộc CD vậy ABFE đã là hình bình hành vì có 2 cặp cạnh song song với nhau. Góc AEF=BFE =90 độ góc, vậy hình bình hành ABFE đã là hình chữ nhật), --> AB=FE và --> ED=FC, vì tính đối xứng qua trục đứng của hình thang cân ABCD cho ta biểu thức: FC=ED=(CD-BA)/2=(CD-FE)/2=(CF+FE+ED-FE)/... --> hiển nhiên.
Cách 3:
2 tam giác vuông: ADE (vuông ở E) và BCF (vuông ở F) là 2 tam giác đồng dạng, vì có 1 góc nhọn bằng nhau (góc D=góc C, vì là 2 góc ở đáy của hình thang cân). Chúng lại có 2 cạnh huyền AD=BC (là 2 cạnh bên của hình thang cân). Vậy hệ số tỷ lệ của 2 tam giác vuông đồng dạng này là 1. Vậy 2 cạnh góc vuông tương ứng ED=FC --> đ.c.c.m
