Ta có: \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\) (1)
\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\) ( đpcm )
Trước hết ta c/m:
" nếu (*) \(\left\{\begin{matrix}y>x>0\\p>0\end{matrix}\right.\) thì \(\frac{x}{y}< \frac{x+p}{y+p}\)(1)
c/m:(1)\(\Leftrightarrow x\left(y+p\right)< y\left(x+p\right)\Leftrightarrow p\left(x-y\right)< 0\) (*)=> dpcm.
c/m A<2:
Áp (1) từng số hạng của trên
\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
cộng lại: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+\left(c+b\right)}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2=>dpcm\)
c/m; A>1
tương tự (1) ta có \(\frac{x}{y}>\frac{x}{y+p}\) áp vào từng số hạng của trên
\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}>\frac{c+b}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
cộng lại
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\Rightarrow dpcm\)
